1. Автомобиль должен быть технически исправен. Данный факт потверждается наличием талона техосмотра и/или диагностической карты (я на всякий случай взял и то, и другое). Если же вышеназванные доказательства технической исправности автомобиля отсутствуют - это может стать основанием к отказу в выплате страхового возмещения. В договоре ОСАГО этого напрямую не сказано, но там есть немало моментов, могущих иметь "расширительное" толкование (например - отказ в выплате вследствие умысла виновника; вполне возможно, что эксплуатация заведомо неисправного ТС может быть отнесена к такому случаю).
2. В отделе продаж страховой компании и в отделе урегулирования убытков работают совершенно разные люди с совершенно разными задачами. Задача перВЫХ - впарить Вам услуг на максимальную сумму, задача вторых - минимизировать выплаты. И может статься, что, придя ко вторым, Вы будете сильно удивлены тому, какой бред несли Вам первые.
3. В форме 2, которую ГИБДД заполняет по поводу ДТП, совершенно точно есть отметка о том, было ли ТС в исправном состоянии или нет.

Посему я доехал до старых знакомых, пробашлял и через 5 минут получил талон ТО и диагностическую карту. Мой страховой агент, кстати, наличие талона ТО проверил и вроде даже вписал его номер в какие-то свои внутренние документы.

PS: Всё сказанное выше об отсутствии ТО как основания к отказе в выплате по ОСАГО - суть чисто мои предположения, вопросов специалистам по этому поводу не задавал.