Тут самому решать. Хотя по тонации, чувствуется, что ждешь, что скажут- да, усыпай.
Я не усыплял собаку, потому что
1. хотел, чтобы собака побыла дольше
2. не был уверен, что животное поддерживает эвтаназию, и напротив был уверен, что животное хочет жить несмотря не на что
3. знал, что расплачусь как девченка у ветеренара и буду стесняться